W Relatywistycznym składaniu prędkości wyprowadziliśmy wzór na składanie prędkości w ramach szczególnej teorii względności. Oznaczmy przez bezwymiarową prędkość względną układu odniesienia S’ względem układu odniesienia S. Niech będzie prędkością S” względem S’ – przy czym S” i S’ poruszają się w tym kierunku osi względem układu S i mają tak samo ustawione osie przestrzenne y,z jak układ S. Wtedy S” porusza się względem S z prędkością daną przez formułę:

Jest to suma i ale `zdeformowana’ poprzez obecność mianownika. Deformacja ta jest tym większa im bliższe są i jedynki, czyli im bliższe są prędkości światła prędkości i Dla małych prędkości, dla i bliskich zera, iloczyn jest mały w porównaniu z jedynką, można więc go zaniedbać. Jednak dla bliskich jedności mianownik jest bliski dwójki. I to powoduje deformację zwykłego dodawania w liczniku.

Narysujmy wykres funkcji – czyli wykres zwykłego nierelatywistycznego dodawania prędkości. Wykres ten wygląda tak:

Jest to po prostu fragment płaszczyzny. Relatywistyczna formuła dodawania, w przedstawieniu graficznym ma taką postać

Widać wyraźnie deformację, widać ‘krzywiznę’. Ponieważ ‘krzywizna’ pojawi się dalej, gdy przejdziemy do ogólnej teorii względności, choć będzie w innym kontekscie, pojęciu krzywizny, jej dokładnej matematycznej definicji, warto poświęcić trochę czasu, warto weń ‘zainwestować’. Trzeba jednak zacząć od rzeczy prostszej, od stycznych.

Krzywizna krzywych płaskich.
1. Styczne

Od tego zaczniemy, bo dobrze zacząć od rzeczy prostych i potem stopniowo, przechodzić do tych bardziej złożonych. Tematowi temu poświęciłem kiedyś parę postów na moim blogu w Salon24, np. “Pędzi zawrót kolisty“. Tutaj jednak rzecz wprowadzę po kolei, w miarę systematycznie.

Krzywiznę odczuwamy intuicyjnie – znamy to z wesołego miasteczka:

Na zakrzywieniach albo nas coś wgniata, albo wręcz przeciwnie, stajemy się nieważcy. Czas więc to pojęcie sprecyzować, na razie w stosunku do krzywych płaskich.

Weźmy dla przykładu krzywą z tego obrazka:

(obrazek pożyczony z “Use Games to Motivate Your Calculus Students-Handout“)

Równanie tej krzywej ma postać:

Jest to wielomian piątego stopnia. Krzywa ma pięć przecięć z osią x, na obrazku widać jedynie trzy z tych przecięć. Pozostałe dwa są poza polem obrazka. Pierwszą rzeczą, z którą warto się zaznajomić, to pojęcie ‘stycznej’. Zamiast tłumaczyć co to jest ‘prosta styczna do krzywej w danym punkcie’ lepiej pokazać to na obrazku. W tym celu naniosłem najpierw wykres naszej krzywej, zrobiony przy pomocy programu plotującego, na obrazek w formacie jpg – tak będzie weselej. Oczywiście musiałem w tym celu nieco przeskalować wykres (w pionie, podzieliłem krzywą przez 120), by się ta krzywa z obrazka i ta krzywa ‘zmatematyzowana’ w miarę zgodziły. Wyszło nienajgorzej.

Równanie stycznej do krzywej w punkcie a jest dane wzorem

gdzie oznacza pochodną funkcji w punkcie :

Narysujmy więc tę styczną w kilku różnych punktach naszej krzywej.

A tu narysujmy same styczne, bez rysowania krzywej:

Widzimy, że krzywą można rozpoznać patrząc wyłącznie na rodzinę prostych stycznych do tej krzywej.