Month: December 2010

Nieubłagany czas – Heropass

Posted on by arkajad

Wczoraj założyłem na tym moim nowym blogu plugin „formy kontaktowej”. Choć ze statystyk wynika, że odwiedziły dotąd mój blog aż trzy osoby, mimo to jestem dobrej myśli. Początki zawsze są trudne. Dziś dostałem pierwszego mejla wysłanego poprzez klik na „Contact”. Treść:

Uprzejmie proszę o komentarz mojego artykułu p.t."Falowa teoria grawitacji".

Wczoraj też zajrzałem do skrzynki kontaktowej na physicsforums. W wyniku tego dostałem do lektury dwie inne prace na temat grawitacji. Jedną w języku rosyjskim, „Esej o naturze grawitacji” (18 stron). Druga w języku angielskim o nowej kwantowej teorii grawitacji (130 stron). Grawitacja się na mnie uwzięła, zapewne w odwecie za moje nią zainteresowania. Inny cios przyszedł ze strony NSF skąd dostałem do recenzji projekt dotyczący …. grawitacji. I jak ja sobie z tym wszystkim dam radę?

Czytam inny esej, fizyka nazwiskiem Besarab Nicolescu p.t. ‘Gurdjieff’s Philosophy of Nature‘.

Besarab Nicolescu with Jan Paul II

A tam m.in.:

For Gurdjieff, God was constrained to create the world:

There came to our Creator All-Maintainer the forced need to create our present existing Megalocosmos, i.e., our World.… Our Creator Omnipotent once ascertained that this same Sun Absolute.… was, although almost imperceptibly yet nevertheless gradually, diminishing in volume.… [The] cause of this gradual diminishing of the volume of the Sun Absolute was merely the Heropass, that is, the flow of time itself.33

Such an assertion might appear, at first glance, a manifestation of Gurdjieff’s celebrated humor. But the role attributed to time is intriguing and makes us think of a similar idea which appeared in the cosmology of Jakob Boehme (1575–1624). With Boehme, God also created the universe by constraint—that of his imperious desire to know himself. Thus, he dies to himself in order to be born, by submitting himself to the cycle of time. The “birth of God” is a fundamental aspect of Boehme’s doctrine.

At any rate, to return to Gurdjieff’s view of Creation: it was necessary to save the divine world from the action of time. Thus, the universe was created, an unending chain of systems bound by universal interdependence, which escapes the action of time in this way. Gurdjieff calls this universal interdependence “the Most Great cosmic Trogoautoegocrat.… the true Savior from the law-conformable action of the merciless Heropass,”35 or “the Trogoautoegocratic process.… in order that.… “the exchange of substances” or the “Reciprocal feeding” of everything that exists, might proceed in the Universe and thereby that the merciless “Heropass” might not have its maleficent effect on the Sun Absolute.”36

I tu przypomina mi się, że wczoraj dostałem też email od pewnego inżyniera z Niemiec, którego kolega, fizyk, pracuje nad połączeniem grawitacji z termodynamiką. Zaś inzynier J.H. nadal czeka cierpliwie, aż wyjaśnię problem spadania ciał w ogólnej teorii względności. Tak jakbym ja sam ten problem dobrze rozumiał ….

Nieubłagany czas-Heropass – jak go przechytrzyć?

Relatywistyczne składanie prędkości

Posted on by arkajad

W notce Szczególna teoria względności – Cz. 1 zapisaliśmy ogólną transformację Lorentza w postaci

x^\mu=\Lambda^\mu_{\mu'}x^{\mu'}.

Transformacja odwrotna zapisywana jest jako

x^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}_{\mu}x^{\mu}.

Macierz \Lambda=\{\Lambda^{\mu'}_{\mu}\} winna przy tym spełniać warunek

\Lambda^T\eta\Lambda=\eta

gdzie \eta jest macierzą definiującą interwał czasoprzestrzenny geometrii przestrzeni Minkowskiego:

\eta=\begin{pmatrix} -1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}

W notce “Szczególne transformacje Lorentza” zajęliśmy się najprostszym ciekawym przypadkiem, gdy jeden układ odniesienia porusza się względem drugiego z prędkością v wzdłuż jednej osi – była to oś x. Wtedy

x{^0}'=\gamma(x^0-\beta x)
x'=\gamma (x-\beta x^0)
y'=y
z'=z.

gdzie

\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2},\quad \beta=v/c.

Macierz \Lambda ma dla takich transformacji postać:

\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&-\beta\gamma&0&0\\-\beta\gamma&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}

Przyjrzyjmy się tej nietrywialnej lewej górnej klatce naszej macierzy. Dla klatki tej warunek \Lambda^T\eta\Lambda=\eta daje

-(\Lambda^0'_0)^2+(\Lambda^0'_1)^2=-1
-(\Lambda^1'_0)^2+(\Lambda^1'_1)^2=1

W naszym przypadku \Lambda^0'_0=\Lambda^1'_1=\gamma, \Lambda^0'_1=\Lambda^1'_0=-\beta\gamma i warunki te są automatycznie spełnione – jak łatwo się przekonać – wprost z definicji \gamma.

Zapiszmy nasze warunki w nieco ładniejszej dla oka postaci:

(\Lambda^0'_0)^2-(\Lambda^0'_1)^2=1
(\Lambda^1'_1)-(\Lambda^1'_0)^2=1

Przypominają one znany wzór trygonometryczny:

\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1

tyle, że w transformacjach Lorentza mamy minus zamiast plusa. Istnieje wszak nieperiodyczna wersja funkcji trygonometrycznych, tzw. funkcje hiperboliczne.

Funkcje hiperboliczne

Zacząć tu trzeba od funkcji wykładniczej e^x. Jej wykres ma dość dobrze znaną postać:

Exponential function
Funkcja wykładnicza

Przy pomocy funkcji wykładniczej tworzymy hiperboliczny odpowiednik sinusa:

Hyperbolic sinus
Sinus hiperboliczny

Definicja jest prosta:

\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

Podobnie jak zwykły sinus jest to funkcja nieparzysta: \sinh(-x)=-\sinh(x).

Dalej mamy cosinus hiperboliczny

\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

Hyperbolic cosinus
Cosinus hiperboliczny

Ten jest funkcją parzystą: \cosh(-x)=\cosh(x).

Wreszcie mamy (nieparzysty) tangens hiperboliczny:

\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

o wykresie

Hyperbolic tangent
Tangens hiperboliczny

Jak się łatwo przekonać wprost z definicji, dla funkcji hiperbolicznych mamy:

\cosh^2\alpha-\sinh^2\alpha=1

zatem dokładnie tak jak to jest w naszej szczególnej transformacji Lorentza. Sugeruje nam ta obserwacja, że warto wprowadzić, miast wielkości \beta=v/c nową wielkość \alpha tak, by było:

\gamma=\cosh\,\alpha

\beta\gamma=\sinh\,\alpha

Wtedy \beta=\frac{\beta\gamma}{\gamma}=\tanh\,\alpha. Macierz szczególnej transformacji Lorentza w dwóch wymiarach ma wtedy wyjątkowo prostą postać:

\Lambda(\alpha)=\begin{pmatrix}\cosh\,\alpha&-\sinh\,\alpha\\-\sinh\,\alpha&\cosh\,\alpha\end{pmatrix}

Łatwo możemy wyrazić \alpha przez \beta

\alpha=\mathrm{artgh}(\beta)

gdzie \mathrm{artgh} jest funkcją odwrotną do tangensa hiperbolicznego, o wykresie

inverse hyperbolic tangent
Area tangens hiperboliczny

Dodawanie prędkości

Podczas gdy \beta=v/c zmienia sie w zakresie -1<\beta<1 to \alpha ma zakres -\infty<\alpha<\infty.

Wprowadzenie \alpha miast \beta ma jeszcze jedną przyjemną własność, a wiąże się ona z relatywistycznym prawem składania prędkości. Przypuśćmy, że mamy trzy układy odniesienia: S,S’,S”, przy czym S’ porusza się względem S z prędkością \beta zaś S” porzusza się względem S’ z prędkością \beta'. Z jaką prędkością będzie się poruszał S” względem S? Otóż, bynajmniej nie z prędkością \beta+\beta'.  Wymnażając macierze przekształceń Lorentza:

\Lambda(\alpha)=\begin{pmatrix}\cosh(\alpha)&-\sinh(\alpha)\\-\sinh(\alpha)&\cosh(\alpha)\end{pmatrix}

\Lambda(\alpha')=\begin{pmatrix}\cosh(\alpha')&-\sinh(\alpha')\\-\sinh(\alpha')&\cosh(\alpha')\end{pmatrix}

przekonujemy się łatwo, że

\Lambda(\alpha)\Lambda(\alpha')=\Lambda(\alpha')\Lambda(\alpha)=\Lambda(\alpha+\alpha')

Przy składaniu prędkości dodają się więc parametry \alpha, zaś \beta zależy od \alpha w sposób nieliniowy – dla bet dodawania nie będzie! A co będzie?

Szperając w Wikipedii znaleźć możemy następującą tożsamość dla funkcji tanh:

\tanh(\alpha+\alpha')=\frac{\tanh(\alpha)+\tanh(\alpha')}{1+\tanh(\alpha)\tanh(\alpha')}

Podstawiając \beta''=\tanh(\alpha+\alpha'),\,\beta'=\tanh(\alpha'),\,\beta=\tanh(\alpha) otrzymujemy relatyvistyczne prawo skaładania prędkości:

\beta''=\frac{\beta+\beta'}{1+\beta\beta'}

lub przy pomocy prędkości, pamietająć, że \beta =v/c

v''=\frac{v+v'}{1+ \frac{vv'}{c^2}}

Jeśli więc np. \beta=0.75c, \beta'=0.75c to złożenie tych dwóch prędkości nie daje bynajmniej 1.5c. Miast tego otrzymujemy

\beta''=\frac{0.75+0.75}{1+(0.75)^2}=0.96c

Składając relatywistycznie prędkości mniejsze od prędkości światła nigdy prędkości światła nie przekroczymy.

Szczególne transformacje Lorentza

Posted on by arkajad
Niniejszy post jest małą trnasformacją mojej notki Szczególne przekształcenia Lorentza w Salon24. Zmieniłem niewiele – użyłem kodu Latexa miast wklejania obrazków, to i owo wyprostowałem. Chcę jednak mieć całą konieczną matematykę w jednym miejscu.
Wprowadźmy oznaczenie \beta=v/c dla oznaczenia prędkości jednego układu odniesienia względem drugiego. Ponieważ w STW prędkość v jest mniejsza od prędkości światła, zatem zawsze |\beta|< c. Wprowadza się też zazwyczaj skrót \gamma dla oznaczenia:

\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}

Najprostsza transformacja Lorentza, to transformacja w dwóch wymiarach, gdy mamy tylko współrzędne x^0,x^1. Ma wtedy znaną powszechnie postać:

{x^0}'=\gamma(x^0-\beta x)
x'=\gamma(x-\beta x^0)

W postaci jawnej, przy użyciu t oraz x:

t'=\frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Przekształcenie odwrotne ma dokładnie tą samą postać, tyle, że trzeba zamienić v na -v. Zauważmy, że \gamma sie przy tym nie zmienia.
Przekształcenie to możemy przedstawić w postaci graficznej. Zazwyczaj wybiera się w tym celu osie (x,t) prostopadłe do siebie – bo tak jesteśmy przyzwyczajeni. Ale nowe osie (x',t') już nie będą do siebie prostopadłe. Nic dziwnego, bowiem prostopadłość euklidesowa nie jest prostopadłością przestrzeni Minkowskiego. Oto typowy grafik transformacji szczególnej Lorentza.


Na tym obrazku – gdzie przyjąłem umownie prędkość światła c=1 – względem układu nieprimowanego S, układ primowany, nazwijmy go S’, porusza się z prędkością 0.25c – .(Można np. sobie pomyśleć, że na osi t jednostką są lata, a na osi x jednostką są lata świetlne). Mamy też dwa zdarzenia P1 i P2. Zdarzenia te mają w układzie S współrzędne x_1,t_1 i x_2,t_2 odpowiednio. W układzie S’ współrzędne te są inne, mianowicie x_1',t_1' i x_2',t_2'. Niebieską przerywaną linią narysowałem historię promienia świetlnego wysłanego z początku O uładu w zerowej chwili. Linia ta ma równanie x=ct (pamiętajmy, że tutaj c=1, zatem x^0=t). W chwili zerowej początki obu układów są identyczne. Widać, że punkt P1 połączony jest z O interwałem czasopodobnym, można więc z O wysłać sygnał z prędkością mniejszą od c i sygnał ten dotrze do P1. Natomiast P2 połączony jest z O interwałem przestrzennopodobnym. Połączenie zdarzeń O i P2 wymagałoby sygnału o prędkości ponadświetlnej. Zdarzenia P1 i P2, jak widać z rysunku, połączone są interwałem czasopodobnym. Czym szybciej układ S’ porusza się względem S, tym bardziej – na tym obrazku – jego osie będą się “składać”. W granicy v\rightarrow c złożą się w jedną prostą – tę narysowaną na niebiesko i reprezentującą promień świetlny.
Mógłbym zrobić inaczej – mógłbym osie układu S’ narysować jako prostopadłe. Wtedy osie układu S narysowałbym jako rozchylone.
Jeszcze trochę opisu do rysunku. Linia pionowa z O to historia początku układu S. Linia ukośna wiodąca z O(=O’) ku t’ – to historia początku układu S’. Linia pozioma z O – to “zdarzenia jednoczesne z O patrząc z S“. Linia ukośna z O ku x’, to “zdarzenia jednoczesne z O patrząc z S‘ “.

Relatywistyczne skrócenie

Zanim przyjrzymy się jak odczytać z naszego obrazka relatywistyczne skrócenie, podam dane liczbowe, których użyłem przy jego produkcji. v=0.25, stąd \gamma=1.0328.

Współrzędne zdarzenia P1 w układzie S: t1 = 8.77876, x1=8.00417 Współrzędne zdarzenia P1 w układzie S’: t1′ = 7, x1′ = 6

Współrzędne zdarzenia P2 w układzie S: t2 = 4.13118, x2 = 4.90578 Współrzędne zdarzenia P2 w układzie S’: t2′ = 3, x2′ = 4. Przyjrzyjmy się obrazkowi raz jeszcze, tyle, że pociągnijmy linię przerywaną od punktu oznaczonego symbolem x1’w dół, do poziomej osi x. Można porachować, że przetnie ona oś x dla x = 5.80948.

Jaka temu faktowi towarzyszy interpretacja? Grafik czasoprzestrzenny, jak powyżej, to jedna rzecz, a zdanie sobie sprawy z tego co się dzieje – to rzecz druga. Przestrzeń w naszym prostym przypadku, jest jednowymiarowa. Układ odniesienia to zwykła linijka. Drugi układ odniesienia – to druga linijka. Jedna linijka przesuwa się z prędkością 1/4 prędkości światła wzdłuż drugiej linijki. (Nie jest to prędkość zawrotna, bowiem prędkość transmisji sygnałów w typowych liniach przesyłowych wynosi ok. 3/4 prędkości światła). Na obrazku wygląda to jakoś tak:

Dla obserwatora w układzie S’, w chwili (dla niego) 0 jego linijka jest reprezentowana na Rys. 2 przez białą linię 0x’. W jego chwili t1′ jest to biała linia t1’P1. Punkt jego linijki reprezentujący jego współrzędną zdarzenia P1 to 6. Zaznaczył sobie ten punkt. Linia ukośna łącząca x1′ z P1 to historia tego zaznaczonego punktu – który to punkt porusza się względem S z prędkością 0.25c. Gdy jednak obie linijki miały wspólny początek (z punktu widzenia S i S’), to jest w O, punkt ten miał współrzędną 5.80948 w układzie S. Zatem poruszająca się linijka wygląda na skróconą gdy ogląda ją obserwator w S. Skrócenie to przedstawione jest na obrazku przez odstęp pomiędzy x=6 a punktem przecięcia przerywanej linii z osią x. Można się łatwo przekonać, że 5.80948=6/\gamma. Stąd 1/\gamma nazywa się czynnikiem skrócenia Lorentza.
EnglishPolishRussian