Notes on Ehresmann’s connections -Part 1

Ehresmann’s connection

Consider a fibre bundle \xi=(E,\pi,M) with a fibred chart (x^\mu,v^a), where x^\mu,\quad (\mu=1,\ldots m) are local coordinates on the base manifold M, and v^a\quad (a=1,\ldots n) are coordinates along the fibres. If we have two fibred charts, then on their intersection domain we have

 x^{\mu'}=x^{\mu'}(x^\mu),
 v^{a'}=v^{a'}(x^\mu,v^a).

The chart (x^\mu,v^a) induces vector fields on the tangent space TE:

 \partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}
 \partial_a=\frac{\partial}{\partial v^a}

with the transformation laws:

\frac{\partial f(x',v')}{\partial x^{\mu'}}=\frac{\partial f(x,v)}{\partial x^\mu}\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu'}}+\frac{\partial f(x,v)}{\partial v^a}\frac{\partial v^a}{\partial x^{\mu'}}
\frac{\partial f(x'v')}{\partial v^{a'}}=\frac{\partial f(x,v)}{\partial v^a}\frac{\partial v^a}{\partial v^{a'}}.

Therefore

    \begin{eqnarray*}\partial_{\mu'}&=&\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu'}}\,\partial_\mu+\frac{\partial v^a}{\partial x^{\mu'}}\,\partial_a,\\ \partial_{a'}&=&\frac{\partial v^a}{\partial v^{a'}}\,\partial_a,\end{eqnarray*}

and the inverse

    \begin{eqnarray*}\partial_{\mu}&=&\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\,\partial_{\mu'}+\frac{\partial v^{a'}}{\partial x^{\mu}}\,\partial_{a'},\\ \partial_{a}&=&\frac{\partial v^{a'}}{\partial v^{a}}\,\partial_{a'},\end{eqnarray*}

Vector fields \partial_a span what is called the vertical subspace in TE. This subspace, consisting of vectors tangent to the fibers, is independent of the chart. There are no a priori distinguished `horizontal’ subspaces. The subspaces determined by vector fields \partial_\mu change when the charts change. A preferred distribution of horizontal subspaces is determined by what is called an Ehresmann connection. Once such a connection is given, vector fields \partial_\mu tangent to M can be lifted to horizontal vector fields tangent to E.

Remark: In principle we should use a different notation for vector fields \partial_\mu tangent to M and vector fields induced on E by a chart (x,v). Using the same notation for both can lead to misunderstandings when is not paying attention to the context.

Let us denote by \delta_\mu the horizontal lifts induced by an Ehresmann connection on \xi, They can be written uniquely in the form:

\delta_\mu=\partial_\mu+\Gamma^a_\mu(x,v)\,\partial_a.

Remark: In Finsler geometry instead of \Gamma^a_\mu one usually uses N^a_\mu=-\Gamma^a_\mu, so that the formula for the horizontal lift reads \delta_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}-N^a_\mu(x,v) \frac{\partial}{\partial v^a}

The functions \Gamma^a_\mu(x,v) may be called the coefficient functions of the Ehresmann connection with respect to the chart (x,v).

If X=X^\mu\partial_\mu is a vector field on M, we denote its horizontal lift by \delta_X, thus

 \delta_X=X^\mu\,\delta_\mu.

Suppose now we have two charts, (x,v) and (x'v'). Corresponding to these two charts we will have two sets of horizontal lifts of the same connection \delta_\mu and \delta_{\mu'}. Since both are supposed to describe the same horizontal distribution, they must be related by an invertible matrix A^{\mu'}_\mu:

\delta_{\mu'}=A^\mu_{\mu'}\delta_\mu.

Substituting now the definitions we have

\partial_{\mu'}+\Gamma^{a'}_{\mu'}\,\partial_{a'}=A^\mu_{\mu'}\left(\partial_\mu+\Gamma^a_\mu\partial_a.\right)

or

 \partial_{\mu'}+\Gamma^{a'}_{\mu'}\,\partial_{a'}=A^\mu_{\mu'}\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\,\partial_{\mu'}+A^\mu_{\mu'}\frac{\partial v^{a'}}{\partial x^{\mu}}\,\partial_{a'}+A^\mu_{\mu'}\Gamma^a_\mu\frac{\partial v^{a'}}{\partial v^{a}}\,\partial_{a'}

Comparing the terms we find that

A^\mu_{\mu'}= \frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu'}}

and therefore

 \Gamma^{a'}_{\mu'}=\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu'}}\left(\frac{\partial v^{a'}}{\partial v^a}\Gamma^a_\mu+\frac{\partial v^{a'}}{\partial x^\mu}\right).

We can distinguish two special classes of transformations. First class consists of changes of coordinates on M without reparametrizing of the fibers. For these transformations \Gamma^a_\mu transforms like one–forms:

 \Gamma^a_{\mu'}=\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu'}}\Gamma^a_\mu.

The second class consists of transformations of the form x^{\mu'}=x^\mu,\, v^{a'}=v^a(x,v). For these transformations we have

 \Gamma^{a'}_{\mu}=\frac{\partial v^{a'}}{\partial v^a}\Gamma^a_\mu+\frac{\partial v^{a'}}{\partial x^\mu}.

{\bf Remark}: If \xi is a vector bundle, then the reparametrizations of the fibers compatible with the vector bundle structure are linear and of the form:

v^{a'}={\Lambda(x)^{a'}}_a\,v^a.

In this case the last formula reads:

 \Gamma^{a'}_\mu={\Lambda^{a'}}_a\Gamma^a_\mu+\partial_\mu {\Lambda^{a'}}_av^a

Curvature

Given an Ehresmann connection represented by horizontal vector fields \delta_\mu we can calculate their commutator. As it happens their commutator is a vertical vector field that can be written as

 [\delta_\mu,\delta_\nu]=R_{\mu\nu}^a\,\partial_a,

where

 R_{\mu\nu}^a=\partial_\mu \Gamma^a_\nu-\partial_\nu \Gamma^a_\mu+\Gamma_\mu^b\,\partial_b\Gamma^a_\nu-\Gamma_\nu^b\,\partial_b\Gamma^a_\mu.

More generally, for any two vector fields X=X^\mu\partial_\mu,\,Y=Y^\mu\partial_\mu on M one defines

 R_{X,Y}=[\delta_X,\delta_Y]-\delta_{[X,Y]}.

If f,g are functions on M, then

 R_{fX,gY}(x,v)=f(x)g(x)\,R_{X,Y}(x,v).

Under coordinate transformations R_{\mu\nu} transforms like a tensor:

 R^a_{\mu'\nu'}=\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu'}}\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu'}}\,R^a_{\mu\nu}.

Under fiber reparametrization we have:

 R_{\mu\nu}^{a'}=\frac{\partial v^{a'}}{\partial v^a}\,R^a_{\mu\nu}.

Connection form

It is convenient to code the connection given by a horizontal distribution in one geometrical object. This can be done by introducing the curvature form – a one-form on E with values in the vertical distribution. Given a vector tangent to E at (x,v) we decompose it into a horizontal and vertical part and define the connection form on this vector as the vertical part. It follows that the connection form is the identity map on vertical vectors. In coordinates we can uniquely write the connection form \omega as
\omega=(dv^a+N_\mu^a\,dx^\mu)\,\partial_a,
The curvature form vanishes automatically on the horizontal vectors \delta_\mu, therefore it easily follows that N^a_\mu=-\Gamma^a_\mu.

Einstein, prędkości, styczne

W Relatywistycznym składaniu prędkości wyprowadziliśmy wzór na składanie prędkości w ramach szczególnej teorii względności. Oznaczmy przez \beta bezwymiarową prędkość względną v/c układu odniesienia S’ względem układu odniesienia S. Niech \beta' będzie prędkością S” względem S’ – przy czym S” i S’ poruszają się w tym kierunku osi x względem układu S i mają tak samo ustawione osie przestrzenne y,z jak układ S. Wtedy S” porusza się względem S z prędkością \beta'' daną przez formułę:

\beta''=\frac{\beta+\beta'}{1+\beta\beta'}

Jest to suma \beta i \beta', ale `zdeformowana’ poprzez obecność mianownika. Deformacja ta jest tym większa im bliższe są \beta i \beta' jedynki, czyli im bliższe są prędkości światła prędkości v i v'. Dla małych prędkości, dla \beta i \beta' bliskich zera, iloczyn \beta\beta' jest mały w porównaniu z jedynką, można więc go zaniedbać. Jednak dla \beta,\beta' bliskich jedności mianownik jest bliski dwójki. I to powoduje deformację zwykłego dodawania w liczniku.

Narysujmy wykres funkcji f_0(\beta,\beta')=\beta+\beta' – czyli wykres zwykłego nierelatywistycznego dodawania prędkości. Wykres ten wygląda tak:

Dodawanie prędkości nierelatywistyczne
Zwykła suma

Jest to po prostu fragment płaszczyzny. Relatywistyczna formuła dodawania, w przedstawieniu graficznym ma taką postać

Relatywistyczne dodawanie prędkości
Suma zdeformowana

Widać wyraźnie deformację, widać ‘krzywiznę’. Ponieważ ‘krzywizna’ pojawi się dalej, gdy przejdziemy do ogólnej teorii względności, choć będzie w innym kontekscie, pojęciu krzywizny, jej dokładnej matematycznej definicji, warto poświęcić trochę czasu, warto weń ‘zainwestować’. Trzeba jednak zacząć od rzeczy prostszej, od stycznych.

Krzywizna krzywych płaskich.
1. Styczne

Od tego zaczniemy, bo dobrze zacząć od rzeczy prostych i potem stopniowo, przechodzić do tych bardziej złożonych. Tematowi temu poświęciłem kiedyś parę postów na moim blogu w Salon24, np. “Pędzi zawrót kolisty“. Tutaj jednak rzecz wprowadzę po kolei, w miarę systematycznie.

Krzywiznę odczuwamy intuicyjnie – znamy to z wesołego miasteczka:

Rollecoaster
Na wesołym miasteczku

Na zakrzywieniach albo nas coś wgniata, albo wręcz przeciwnie, stajemy się nieważcy. Czas więc to pojęcie sprecyzować, na razie w stosunku do krzywych płaskich.

Weźmy dla przykładu krzywą z tego obrazka:

Rollercoaster wielomianowy
Z górki na pazurki

(obrazek pożyczony z “Use Games to Motivate Your Calculus Students-Handout“)

Równanie tej krzywej ma postać:

f(x)=0.5(x-5.8)(x-4)(x-0.7)(x+2.1)(x+6.19)

Jest to wielomian piątego stopnia. Krzywa ma pięć przecięć z osią x, na obrazku widać jedynie trzy z tych przecięć. Pozostałe dwa są poza polem obrazka. Pierwszą rzeczą, z którą warto się zaznajomić, to pojęcie ‘stycznej’. Zamiast tłumaczyć co to jest ‘prosta styczna do krzywej w danym punkcie’ lepiej pokazać to na obrazku. W tym celu naniosłem najpierw wykres naszej krzywej, zrobiony przy pomocy programu plotującego, na obrazek w formacie jpg – tak będzie weselej. Oczywiście musiałem w tym celu nieco przeskalować wykres (w pionie, podzieliłem krzywą przez 120), by się ta krzywa z obrazka i ta krzywa ‘zmatematyzowana’ w miarę zgodziły. Wyszło nienajgorzej.

f(x)=0.5(x-5.8)(x-4)(x-0.7)(x+2.1)(x+6.19)
Rollercoaster wielomianowy

Równanie stycznej do krzywej w punkcie a jest dane wzorem

L_a(x)=f'(a)(x-a)+f(a),

gdzie f' oznacza pochodną funkcji f w punkcie a:

f '(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Narysujmy więc tę styczną w kilku różnych punktach naszej krzywej.

Krzywa f(x)=0.5(x-5.8)(x-4)(x-0.7)(x+2.1)(x+6.1) i styczne
Dziewięć stycznych

A tu narysujmy same styczne, bez rysowania krzywej:

Rodzina stycznych

Widzimy, że krzywą można rozpoznać patrząc wyłącznie na rodzinę prostych stycznych do tej krzywej.

Nieubłagany czas – Heropass

Wczoraj założyłem na tym moim nowym blogu plugin „formy kontaktowej”. Choć ze statystyk wynika, że odwiedziły dotąd mój blog aż trzy osoby, mimo to jestem dobrej myśli. Początki zawsze są trudne. Dziś dostałem pierwszego mejla wysłanego poprzez klik na „Contact”. Treść:

Uprzejmie proszę o komentarz mojego artykułu p.t."Falowa teoria grawitacji".

Wczoraj też zajrzałem do skrzynki kontaktowej na physicsforums. W wyniku tego dostałem do lektury dwie inne prace na temat grawitacji. Jedną w języku rosyjskim, „Esej o naturze grawitacji” (18 stron). Druga w języku angielskim o nowej kwantowej teorii grawitacji (130 stron). Grawitacja się na mnie uwzięła, zapewne w odwecie za moje nią zainteresowania. Inny cios przyszedł ze strony NSF skąd dostałem do recenzji projekt dotyczący …. grawitacji. I jak ja sobie z tym wszystkim dam radę?

Czytam inny esej, fizyka nazwiskiem Besarab Nicolescu p.t. ‘Gurdjieff’s Philosophy of Nature‘.

Besarab Nicolescu with Jan Paul II

A tam m.in.:

For Gurdjieff, God was constrained to create the world:

There came to our Creator All-Maintainer the forced need to create our present existing Megalocosmos, i.e., our World.… Our Creator Omnipotent once ascertained that this same Sun Absolute.… was, although almost imperceptibly yet nevertheless gradually, diminishing in volume.… [The] cause of this gradual diminishing of the volume of the Sun Absolute was merely the Heropass, that is, the flow of time itself.33

Such an assertion might appear, at first glance, a manifestation of Gurdjieff’s celebrated humor. But the role attributed to time is intriguing and makes us think of a similar idea which appeared in the cosmology of Jakob Boehme (1575–1624). With Boehme, God also created the universe by constraint—that of his imperious desire to know himself. Thus, he dies to himself in order to be born, by submitting himself to the cycle of time. The “birth of God” is a fundamental aspect of Boehme’s doctrine.

At any rate, to return to Gurdjieff’s view of Creation: it was necessary to save the divine world from the action of time. Thus, the universe was created, an unending chain of systems bound by universal interdependence, which escapes the action of time in this way. Gurdjieff calls this universal interdependence “the Most Great cosmic Trogoautoegocrat.… the true Savior from the law-conformable action of the merciless Heropass,”35 or “the Trogoautoegocratic process.… in order that.… “the exchange of substances” or the “Reciprocal feeding” of everything that exists, might proceed in the Universe and thereby that the merciless “Heropass” might not have its maleficent effect on the Sun Absolute.”36

I tu przypomina mi się, że wczoraj dostałem też email od pewnego inżyniera z Niemiec, którego kolega, fizyk, pracuje nad połączeniem grawitacji z termodynamiką. Zaś inzynier J.H. nadal czeka cierpliwie, aż wyjaśnię problem spadania ciał w ogólnej teorii względności. Tak jakbym ja sam ten problem dobrze rozumiał ….

Nieubłagany czas-Heropass – jak go przechytrzyć?