Einstein, prędkości, styczne

Posted on 2010/12/122017/01/09 by arkajad

W Relatywistycznym składaniu prędkości wyprowadziliśmy wzór na składanie prędkości w ramach szczególnej teorii względności. Oznaczmy przez $\beta$ bezwymiarową prędkość względną $v/c$ układu odniesienia S’ względem układu odniesienia S. Niech $\beta'$ będzie prędkością S” względem S’ – przy czym S” i S’ poruszają się w tym kierunku osi $x$ względem układu S i mają tak samo ustawione osie przestrzenne y,z jak układ S. Wtedy S” porusza się względem S z prędkością $\beta''$ daną przez formułę:

$\beta''=\frac{\beta+\beta'}{1+\beta\beta'}$

Jest to suma $\beta$ i $\beta',$ ale `zdeformowana’ poprzez obecność mianownika. Deformacja ta jest tym większa im bliższe są $\beta$ i $\beta'$ jedynki, czyli im bliższe są prędkości światła prędkości $v$ i $v'.$ Dla małych prędkości, dla $\beta$ i $\beta'$ bliskich zera, iloczyn $\beta\beta'$ jest mały w porównaniu z jedynką, można więc go zaniedbać. Jednak dla $\beta,\beta'$ bliskich jedności mianownik jest bliski dwójki. I to powoduje deformację zwykłego dodawania w liczniku.

Narysujmy wykres funkcji $f_0(\beta,\beta')=\beta+\beta'$ – czyli wykres zwykłego nierelatywistycznego dodawania prędkości. Wykres ten wygląda tak:

Dodawanie prędkości nierelatywistyczne — Zwykła suma

Jest to po prostu fragment płaszczyzny. Relatywistyczna formuła dodawania, w przedstawieniu graficznym ma taką postać

Relatywistyczne dodawanie prędkości — Suma zdeformowana

Widać wyraźnie deformację, widać ‘krzywiznę’. Ponieważ ‘krzywizna’ pojawi się dalej, gdy przejdziemy do ogólnej teorii względności, choć będzie w innym kontekscie, pojęciu krzywizny, jej dokładnej matematycznej definicji, warto poświęcić trochę czasu, warto weń ‘zainwestować’. Trzeba jednak zacząć od rzeczy prostszej, od stycznych.

Krzywizna krzywych płaskich.
1. Styczne

Od tego zaczniemy, bo dobrze zacząć od rzeczy prostych i potem stopniowo, przechodzić do tych bardziej złożonych. Tematowi temu poświęciłem kiedyś parę postów na moim blogu w Salon24, np. “Pędzi zawrót kolisty“. Tutaj jednak rzecz wprowadzę po kolei, w miarę systematycznie.

Krzywiznę odczuwamy intuicyjnie – znamy to z wesołego miasteczka:

Na zakrzywieniach albo nas coś wgniata, albo wręcz przeciwnie, stajemy się nieważcy. Czas więc to pojęcie sprecyzować, na razie w stosunku do krzywych płaskich.

Weźmy dla przykładu krzywą z tego obrazka:

Rollercoaster wielomianowy — Z górki na pazurki

(obrazek pożyczony z “Use Games to Motivate Your Calculus Students-Handout“)

Równanie tej krzywej ma postać:

$f(x)=0.5(x-5.8)(x-4)(x-0.7)(x+2.1)(x+6.19)$

Jest to wielomian piątego stopnia. Krzywa ma pięć przecięć z osią x, na obrazku widać jedynie trzy z tych przecięć. Pozostałe dwa są poza polem obrazka. Pierwszą rzeczą, z którą warto się zaznajomić, to pojęcie ‘stycznej’. Zamiast tłumaczyć co to jest ‘prosta styczna do krzywej w danym punkcie’ lepiej pokazać to na obrazku. W tym celu naniosłem najpierw wykres naszej krzywej, zrobiony przy pomocy programu plotującego, na obrazek w formacie jpg – tak będzie weselej. Oczywiście musiałem w tym celu nieco przeskalować wykres (w pionie, podzieliłem krzywą przez 120), by się ta krzywa z obrazka i ta krzywa ‘zmatematyzowana’ w miarę zgodziły. Wyszło nienajgorzej.

Równanie stycznej do krzywej w punkcie a jest dane wzorem

$L_a(x)=f'(a)(x-a)+f(a),$

gdzie $f'$ oznacza pochodną funkcji $f$ w punkcie $a$ :

$f '(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Narysujmy więc tę styczną w kilku różnych punktach naszej krzywej.

Krzywa f(x)=0.5(x-5.8)(x-4)(x-0.7)(x+2.1)(x+6.1) i styczne — Dziewięć stycznych

A tu narysujmy same styczne, bez rysowania krzywej:

Widzimy, że krzywą można rozpoznać patrząc wyłącznie na rodzinę prostych stycznych do tej krzywej.

8 thoughts on “Einstein, prędkości, styczne”

Bjab says:

2010/12/12 at 17:18

Mimo, że dla Sprawy nie ma to najprawdopodobniej żadnego znaczenia to jednak
gdy x = 0
f(x) = 0,5*(x-5,8)*(x-4)*(x-0,7)*(x+2,1)*(x+6,19) równe jest coś około -106.
Na Twoim rysunku wykres przecina pionową oś trochę powyżej -1. Skąd się to wzięło?

Log in to Reply
Bjab says:

2010/12/12 at 17:26

Czy dla kolorowych wykresów sumowania bet nie dałoby się zwiększyć jednostki wartości tych sum (rozciągnąć wykresy w pionie), aby były mniej więcej optycznie takie same jak jednostki samych bet?
(Szczególnie mylące jest, że jednostki te różnią się na tych wykresach.)

Log in to Reply
1. arkajad says:
  
  2010/12/12 at 17:38
  
  1) f(0)/120=-0.879 – zaznaczyłem w tekscie, że dzielę przez 120
  
  2)
  
  A tak wyglądają poziomnice:
  
  Log in to Reply
  1. Bjab says:
    
    2010/12/12 at 22:28
    
    Nieco lepiej to wygląda, ale klatka wykresu $\beta + \beta '$ mogłaby być jednak dwa razy wyższa niż klatka wykresu $(\beta + \beta ')/(1 + \beta \beta ')$
    
    Log in to Reply
grelade says:

2010/12/15 at 11:42

Dobrze złapałem sugestię, że będzie mowa o wiązce stycznej TM do tej krzywej M? Właśnie zgłębiam geometrię różniczkową i mi przyszło do głowy podobieństwo z tą notką.

Log in to Reply
1. arkajad says:
  
  2010/12/15 at 21:41
  
  Och, wiązki stycznej się komuś zachciało? No, no. Ale o wiązkach stycznych to raczej będę pisał w jęz. angielskim, bo polskich ewentualnych czytelników nie znających angielskiego chyba nie bedzie?
  
  Log in to Reply
Aristoteles says:

2011/10/12 at 19:23

Look at:
http://www.wiziq.com/tutorial/1622-A-New-Model-for-Physics-Based-on-Mathematics-of-Sy
The Lorentz transformations are represented on the ball of relativistically admissible velocities by Einstein velocity addition and rotations. This representation is by projective maps. The relativistic dynamic equation can be derived by introducing a new principle which is analogous to the Einstein’s Equivalence Principle, but can be applied for any force. By this principle, the relativistic dynamic equation is defined by an element of the Lie algebra of the above representation. If we introduce a new dynamic variable, called symmetric velocity, the above representation becomes a representation by conformal, instead of projective maps. In this variable, the relativistic dynamic equation for systems with an invariant plane, becomes a non-linear analytic equation in one complex variable. We obtain explicit solutions for the motion of a charge in uniform, mutually perpendicular electric and magnetic fields. By the above principle, we show that the relativistic dynamic equation for the four-velocity leads to an analog of the electromagnetic tensor. This indicates that force in special relativity is described by a differential two-form.
Friedman_Y
1. arXiv:1105.0492 [pdf, other]
Covariant Uniform Acceleration
Yaakov Friedman, Tzvi Scarr
Comments: 32 pages, 1 figure
Subjects: General Physics (physics.gen-ph)
2. arXiv:1002.0261 [pdf, other]
The scalar complex potential and the Aharonov-Bohm effect
Y. Friedman, V. Ostapenko
Comments: 10 pages 2 figures
Journal-ref: Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical 43 (2010) 405305
Subjects: General Physics (physics.gen-ph); Quantum Physics (quant-ph)
3. arXiv:0912.4752 [pdf, other]
Testing Doppler type shift for an accelerated source and determination of the universal maximal acceleration
Yaakov Friedman
Comments: 4 pages, 1 figure
Subjects: General Physics (physics.gen-ph)
4. arXiv:0910.5629 [pdf, other]
The maximal acceleration, Extended Relativistic Dynamics and Doppler type shift for an accelerated source
Yaakov Friedman
Comments: 10 pages, 1 figure
Journal-ref: Ann. Phys. (Berlin), 523, No. 5, (2011) 408-416
Subjects: General Physics (physics.gen-ph)
5. arXiv:0906.0930 [pdf, other]
The scalar complex potential of the electromagnetic field
Y. Friedman, S. Gwertzman
Comments: 12 pages
Subjects: General Physics (physics.gen-ph); Classical Physics (physics.class-ph)
6. arXiv:0901.1040 [pdf, ps, other]
The relativistic phase space and Newman-Penrose basis
Yaakov Friedman
Comments: 12 pages
Subjects: General Physics (physics.gen-ph)
7. arXiv:0807.2625 [pdf, ps, other]
Backwards on Minkowski’s road. From 4D to 3D Maxwellian electromagnetism
Y. Itin, Y. Friedman (Jerusalem College of Technology and Institute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem)
Comments: to appear in the special (Sept/Oct 2008) issue of Annalen der Physik (Berlin) commemorating H. Minkowski’s 1908 lecture in Cologne
Subjects: General Relativity and Quantum Cosmology (gr-qc); Materials Science (cond-mat.mtrl-sci); Classical Physics (physics.class-ph)
8. arXiv:physics/0606009 [pdf, ps, other]
A new view on relativity: Part 2. Relativistic dynamics
Yaakov Friedman
Journal-ref: Concepts of Physics V.4 N. 2 (2007) 239-261
Subjects: Classical Physics (physics.class-ph)
9. arXiv:physics/0606008 [pdf, ps, other]
A new view on relativity: Part 1. Kinematic relations between inertial and relativistically accelerated systems based on symmetry
Yaakov Friedman
Regards for all Ark`s and Tu-SK2!

Log in to Reply
1. arkajad says:
  
  2011/10/12 at 20:43
  
  Thank you, Yaakov!
  
  Log in to Reply