Relatywistyczne składanie prędkości

Posted on by arkajad

W notce Szczególna teoria względności – Cz. 1 zapisaliśmy ogólną transformację Lorentza w postaci

x^\mu=\Lambda^\mu_{\mu'}x^{\mu'}.

Transformacja odwrotna zapisywana jest jako

x^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}_{\mu}x^{\mu}.

Macierz \Lambda=\{\Lambda^{\mu'}_{\mu}\} winna przy tym spełniać warunek

\Lambda^T\eta\Lambda=\eta

gdzie \eta jest macierzą definiującą interwał czasoprzestrzenny geometrii przestrzeni Minkowskiego:

\eta=\begin{pmatrix} -1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}

W notce “Szczególne transformacje Lorentza” zajęliśmy się najprostszym ciekawym przypadkiem, gdy jeden układ odniesienia porusza się względem drugiego z prędkością v wzdłuż jednej osi – była to oś x. Wtedy

x{^0}'=\gamma(x^0-\beta x)
x'=\gamma (x-\beta x^0)
y'=y
z'=z.

gdzie

\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2},\quad \beta=v/c.

Macierz \Lambda ma dla takich transformacji postać:

\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&-\beta\gamma&0&0\\-\beta\gamma&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}

Przyjrzyjmy się tej nietrywialnej lewej górnej klatce naszej macierzy. Dla klatki tej warunek \Lambda^T\eta\Lambda=\eta daje

-(\Lambda^0'_0)^2+(\Lambda^0'_1)^2=-1
-(\Lambda^1'_0)^2+(\Lambda^1'_1)^2=1

W naszym przypadku \Lambda^0'_0=\Lambda^1'_1=\gamma, \Lambda^0'_1=\Lambda^1'_0=-\beta\gamma i warunki te są automatycznie spełnione – jak łatwo się przekonać – wprost z definicji \gamma.

Zapiszmy nasze warunki w nieco ładniejszej dla oka postaci:

(\Lambda^0'_0)^2-(\Lambda^0'_1)^2=1
(\Lambda^1'_1)-(\Lambda^1'_0)^2=1

Przypominają one znany wzór trygonometryczny:

\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1

tyle, że w transformacjach Lorentza mamy minus zamiast plusa. Istnieje wszak nieperiodyczna wersja funkcji trygonometrycznych, tzw. funkcje hiperboliczne.

Funkcje hiperboliczne

Zacząć tu trzeba od funkcji wykładniczej e^x. Jej wykres ma dość dobrze znaną postać:

Exponential function
Funkcja wykładnicza

Przy pomocy funkcji wykładniczej tworzymy hiperboliczny odpowiednik sinusa:

Hyperbolic sinus
Sinus hiperboliczny

Definicja jest prosta:

\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

Podobnie jak zwykły sinus jest to funkcja nieparzysta: \sinh(-x)=-\sinh(x).

Dalej mamy cosinus hiperboliczny

\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

Hyperbolic cosinus
Cosinus hiperboliczny

Ten jest funkcją parzystą: \cosh(-x)=\cosh(x).

Wreszcie mamy (nieparzysty) tangens hiperboliczny:

\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

o wykresie

Hyperbolic tangent
Tangens hiperboliczny

Jak się łatwo przekonać wprost z definicji, dla funkcji hiperbolicznych mamy:

\cosh^2\alpha-\sinh^2\alpha=1

zatem dokładnie tak jak to jest w naszej szczególnej transformacji Lorentza. Sugeruje nam ta obserwacja, że warto wprowadzić, miast wielkości \beta=v/c nową wielkość \alpha tak, by było:

\gamma=\cosh\,\alpha

\beta\gamma=\sinh\,\alpha

Wtedy \beta=\frac{\beta\gamma}{\gamma}=\tanh\,\alpha. Macierz szczególnej transformacji Lorentza w dwóch wymiarach ma wtedy wyjątkowo prostą postać:

\Lambda(\alpha)=\begin{pmatrix}\cosh\,\alpha&-\sinh\,\alpha\\-\sinh\,\alpha&\cosh\,\alpha\end{pmatrix}

Łatwo możemy wyrazić \alpha przez \beta

\alpha=\mathrm{artgh}(\beta)

gdzie \mathrm{artgh} jest funkcją odwrotną do tangensa hiperbolicznego, o wykresie

inverse hyperbolic tangent
Area tangens hiperboliczny

Dodawanie prędkości

Podczas gdy \beta=v/c zmienia sie w zakresie -1<\beta<1 to \alpha ma zakres -\infty<\alpha<\infty.

Wprowadzenie \alpha miast \beta ma jeszcze jedną przyjemną własność, a wiąże się ona z relatywistycznym prawem składania prędkości. Przypuśćmy, że mamy trzy układy odniesienia: S,S’,S”, przy czym S’ porusza się względem S z prędkością \beta zaś S” porzusza się względem S’ z prędkością \beta'. Z jaką prędkością będzie się poruszał S” względem S? Otóż, bynajmniej nie z prędkością \beta+\beta'.  Wymnażając macierze przekształceń Lorentza:

\Lambda(\alpha)=\begin{pmatrix}\cosh(\alpha)&-\sinh(\alpha)\\-\sinh(\alpha)&\cosh(\alpha)\end{pmatrix}

\Lambda(\alpha')=\begin{pmatrix}\cosh(\alpha')&-\sinh(\alpha')\\-\sinh(\alpha')&\cosh(\alpha')\end{pmatrix}

przekonujemy się łatwo, że

\Lambda(\alpha)\Lambda(\alpha')=\Lambda(\alpha')\Lambda(\alpha)=\Lambda(\alpha+\alpha')

Przy składaniu prędkości dodają się więc parametry \alpha, zaś \beta zależy od \alpha w sposób nieliniowy – dla bet dodawania nie będzie! A co będzie?

Szperając w Wikipedii znaleźć możemy następującą tożsamość dla funkcji tanh:

\tanh(\alpha+\alpha')=\frac{\tanh(\alpha)+\tanh(\alpha')}{1+\tanh(\alpha)\tanh(\alpha')}

Podstawiając \beta''=\tanh(\alpha+\alpha'),\,\beta'=\tanh(\alpha'),\,\beta=\tanh(\alpha) otrzymujemy relatyvistyczne prawo skaładania prędkości:

\beta''=\frac{\beta+\beta'}{1+\beta\beta'}

lub przy pomocy prędkości, pamietająć, że \beta =v/c

v''=\frac{v+v'}{1+ \frac{vv'}{c^2}}

Jeśli więc np. \beta=0.75c, \beta'=0.75c to złożenie tych dwóch prędkości nie daje bynajmniej 1.5c. Miast tego otrzymujemy

\beta''=\frac{0.75+0.75}{1+(0.75)^2}=0.96c

Składając relatywistycznie prędkości mniejsze od prędkości światła nigdy prędkości światła nie przekroczymy.

8 thoughts on “Relatywistyczne składanie prędkości”

  1. Podpis pod wykresem cosh nie został zmieniony po skopiowaniu.
    Wykres cosh aczkolwiek poprawny może być mylący (że są wartości ujemne).

        1. To dobrze, że poprawiłeś. Drobiazg jeszcze: nawiasy wokół α są niekonieczne (Witkacy, Szewcy: “Nie bedziemy mówić rzeczy niepotrzebnych” – motto w “Analizie harmonicznej” Stanisława Hartmana) – poprawne, lecz w oczy kłujące.

          Tak więc, np. “cos2α” wystarczy.

Leave a Reply