From SU(1,1) to the Lorentz group

From the two-dimensional disk we are moving to three-dimensional space-time. We will meet Einstein-Poincare-Minkowski special relativity, though in a baby version, with x and y, but without z in space. It is not too bad, because the famous Lorentz transformations, with length contraction and time dilation happen already in two-dimensional space-time, with x and t alone. We will discover Lorentz transformations today. First in disguise, but then we will unmask them.

First we recall, from The disk and the hyperbolic model, the relation between the coordinates on the Poincare disk , and on the unit hyperboloid

(1)

(2)

We have the group SU(1,1) acting on the disk with fractional linear transformations. With and in SU(1,1)

(3)

the fractional linear action is

(4)

By the way, we know from previous notes that is in SU(1,1) if and only if

(5)

Having the new point on the disk, with coordinates we can use Eq. (1) to calculate the new space-time point coordinates This is what we will do now. We will see that even if depends on in a nonlinear way, the space-time coordinates transform linearly. We will calculate the transformation matrix and express it in terms of and We will also check that this is a matrix in the group SO(1,2).

The program above involves algebraic calculations. Doing them by hand is not a good idea. Let me recall a quote from Gottfried Leibniz, who, according to Wikipedia

He became one of the most prolific inventors in the field of mechanical calculators. While working on adding automatic multiplication and division to Pascal’s calculator, he was the first to describe a pinwheel calculator in 1685[13] and invented the Leibniz wheel, used in the arithmometer, the first mass-produced mechanical calculator. He also refined the binary number system, which is the foundation of virtually all digital computers.

I used Mathematica as my machine. The same calculations can be certainly done with Maple, or with free software like Reduce or Maxima. For those interested, the code that I used, and the results can be reviewed as a separate HTML document: From SU(1,1) to Lorentz.

Here I will provide only the results. It is important to notice that while the matrix has complex entries, the matrix is real. The entries of depend on real and imaginary parts of and

(6)

Here is the calculated result for :

(7)

In From SU(1,1) to Lorentz it is first verified that the matrix is of determinant 1. Then it is verified that it preserves the Minkowski space-time metric. With defined as

(8)

we have

(9)

Since the transformation preserves the time direction. Thus is an element of the proper Lorentz group .

Remark: Of course we could have chosen with on the diagonal. We would have the group SO(2,1), and we would write the hyperboloid as It is a question of convention.

In SU(1,1) straight lines on the disk we considered three one-parameter subgroups of SU(1,1):

(10)

(11)

We can now use Eq. (7) in order to see which space-time transformations they implement. Again I calculated it obeying Leibniz and using a machine (see From SU(1,1) to Lorentz).

Here are the results of the machine work:

(12)

(13)

(14)

The third family is a simple Euclidean rotation in the plane. That is why I denoted the parameter with the letter In order to “decode” the first two one-parameter subgroups it is convenient to introduce new variable and set The group property is then lost, but the matrices become evidently those of special Lorentz transformations, transforming and , leaving unchanged, and transforming and leaving unchanged (though with a different sign of ). Taking into account the identities

(15)

we get

(16)

(17)

In the following posts we will use the relativistic Minkowski space distance on the hyperboloid for finding the distance formula on the Poincare disk.

Einstein, prędkości, styczne

W Relatywistycznym składaniu prędkości wyprowadziliśmy wzór na składanie prędkości w ramach szczególnej teorii względności. Oznaczmy przez bezwymiarową prędkość względną układu odniesienia S’ względem układu odniesienia S. Niech będzie prędkością S” względem S’ – przy czym S” i S’ poruszają się w tym kierunku osi względem układu S i mają tak samo ustawione osie przestrzenne y,z jak układ S. Wtedy S” porusza się względem S z prędkością daną przez formułę:

Jest to suma i ale `zdeformowana’ poprzez obecność mianownika. Deformacja ta jest tym większa im bliższe są i jedynki, czyli im bliższe są prędkości światła prędkości i Dla małych prędkości, dla i bliskich zera, iloczyn jest mały w porównaniu z jedynką, można więc go zaniedbać. Jednak dla bliskich jedności mianownik jest bliski dwójki. I to powoduje deformację zwykłego dodawania w liczniku.

Narysujmy wykres funkcji – czyli wykres zwykłego nierelatywistycznego dodawania prędkości. Wykres ten wygląda tak:

Jest to po prostu fragment płaszczyzny. Relatywistyczna formuła dodawania, w przedstawieniu graficznym ma taką postać

Widać wyraźnie deformację, widać ‘krzywiznę’. Ponieważ ‘krzywizna’ pojawi się dalej, gdy przejdziemy do ogólnej teorii względności, choć będzie w innym kontekscie, pojęciu krzywizny, jej dokładnej matematycznej definicji, warto poświęcić trochę czasu, warto weń ‘zainwestować’. Trzeba jednak zacząć od rzeczy prostszej, od stycznych.

1. Styczne

Od tego zaczniemy, bo dobrze zacząć od rzeczy prostych i potem stopniowo, przechodzić do tych bardziej złożonych. Tematowi temu poświęciłem kiedyś parę postów na moim blogu w Salon24, np. “Pędzi zawrót kolisty“. Tutaj jednak rzecz wprowadzę po kolei, w miarę systematycznie.

Krzywiznę odczuwamy intuicyjnie – znamy to z wesołego miasteczka:

Na zakrzywieniach albo nas coś wgniata, albo wręcz przeciwnie, stajemy się nieważcy. Czas więc to pojęcie sprecyzować, na razie w stosunku do krzywych płaskich.

Weźmy dla przykładu krzywą z tego obrazka:

(obrazek pożyczony z “Use Games to Motivate Your Calculus Students-Handout“)

Równanie tej krzywej ma postać:

Jest to wielomian piątego stopnia. Krzywa ma pięć przecięć z osią x, na obrazku widać jedynie trzy z tych przecięć. Pozostałe dwa są poza polem obrazka. Pierwszą rzeczą, z którą warto się zaznajomić, to pojęcie ‘stycznej’. Zamiast tłumaczyć co to jest ‘prosta styczna do krzywej w danym punkcie’ lepiej pokazać to na obrazku. W tym celu naniosłem najpierw wykres naszej krzywej, zrobiony przy pomocy programu plotującego, na obrazek w formacie jpg – tak będzie weselej. Oczywiście musiałem w tym celu nieco przeskalować wykres (w pionie, podzieliłem krzywą przez 120), by się ta krzywa z obrazka i ta krzywa ‘zmatematyzowana’ w miarę zgodziły. Wyszło nienajgorzej.

Równanie stycznej do krzywej w punkcie a jest dane wzorem

gdzie oznacza pochodną funkcji w punkcie :

Narysujmy więc tę styczną w kilku różnych punktach naszej krzywej.

A tu narysujmy same styczne, bez rysowania krzywej:

Widzimy, że krzywą można rozpoznać patrząc wyłącznie na rodzinę prostych stycznych do tej krzywej.

W notce Szczególna teoria względności – Cz. 1 zapisaliśmy ogólną transformację Lorentza w postaci

Transformacja odwrotna zapisywana jest jako

Macierz winna przy tym spełniać warunek

gdzie jest macierzą definiującą interwał czasoprzestrzenny geometrii przestrzeni Minkowskiego:

W notce “Szczególne transformacje Lorentza” zajęliśmy się najprostszym ciekawym przypadkiem, gdy jeden układ odniesienia porusza się względem drugiego z prędkością v wzdłuż jednej osi – była to oś x. Wtedy

gdzie

Macierz ma dla takich transformacji postać:

Przyjrzyjmy się tej nietrywialnej lewej górnej klatce naszej macierzy. Dla klatki tej warunek daje

W naszym przypadku , i warunki te są automatycznie spełnione – jak łatwo się przekonać – wprost z definicji .

Zapiszmy nasze warunki w nieco ładniejszej dla oka postaci:

Przypominają one znany wzór trygonometryczny:

tyle, że w transformacjach Lorentza mamy minus zamiast plusa. Istnieje wszak nieperiodyczna wersja funkcji trygonometrycznych, tzw. funkcje hiperboliczne.

Funkcje hiperboliczne

Zacząć tu trzeba od funkcji wykładniczej . Jej wykres ma dość dobrze znaną postać:

Przy pomocy funkcji wykładniczej tworzymy hiperboliczny odpowiednik sinusa:

Definicja jest prosta:

Podobnie jak zwykły sinus jest to funkcja nieparzysta:

Dalej mamy cosinus hiperboliczny

Ten jest funkcją parzystą:

Wreszcie mamy (nieparzysty) tangens hiperboliczny:

o wykresie

Jak się łatwo przekonać wprost z definicji, dla funkcji hiperbolicznych mamy:

zatem dokładnie tak jak to jest w naszej szczególnej transformacji Lorentza. Sugeruje nam ta obserwacja, że warto wprowadzić, miast wielkości nową wielkość tak, by było:

Wtedy . Macierz szczególnej transformacji Lorentza w dwóch wymiarach ma wtedy wyjątkowo prostą postać:

Łatwo możemy wyrazić przez

gdzie jest funkcją odwrotną do tangensa hiperbolicznego, o wykresie

Dodawanie prędkości

Podczas gdy zmienia sie w zakresie to ma zakres .

Wprowadzenie miast ma jeszcze jedną przyjemną własność, a wiąże się ona z relatywistycznym prawem składania prędkości. Przypuśćmy, że mamy trzy układy odniesienia: S,S’,S”, przy czym S’ porusza się względem S z prędkością zaś S” porzusza się względem S’ z prędkością . Z jaką prędkością będzie się poruszał S” względem S? Otóż, bynajmniej nie z prędkością .  Wymnażając macierze przekształceń Lorentza:

przekonujemy się łatwo, że

Przy składaniu prędkości dodają się więc parametry , zaś zależy od w sposób nieliniowy – dla bet dodawania nie będzie! A co będzie?

Szperając w Wikipedii znaleźć możemy następującą tożsamość dla funkcji tanh:

Podstawiając otrzymujemy relatyvistyczne prawo skaładania prędkości:

lub przy pomocy prędkości, pamietająć, że

Jeśli więc np. , to złożenie tych dwóch prędkości nie daje bynajmniej 1.5c. Miast tego otrzymujemy

Składając relatywistycznie prędkości mniejsze od prędkości światła nigdy prędkości światła nie przekroczymy.